Примери коришћења Выпуклый четырехугольник на Руском и њихови преводи на Енглески
{-}
-
Official
-
Colloquial
Трапеция- это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны.
Parallelogram: a quadrilateral with two pairs of parallel sides.Выпуклый четырехугольник является внеописанным тогда и только тогда, когда существует шесть пересекающихся в одной точке биссектрис.
A convex quadrilateral is ex-tangential if and only if there are six concurrent angles bisectors.В евклидовой геометрии равнодиагональный четырехугольник- это выпуклый четырехугольник, две диагонали которого имеют равные длины.
In Euclidean geometry, Выпуклый четырехугольник имеет равные диагонали тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона, образованный серединами сторон, является ромбом.
A convex quadrilateral is equidiagonal if and only if its Varignon parallelogram, the parallelogram formed by the midpoints of its sides, is a rhombus.Обратное также верно- окружность может быть вписана в любой выпуклый четырехугольник, в котором суммы длин противоположных сторон равны.
The converse is also true: a circle can be inscribed into every convex quadrilateral in which the lengths of opposite sides sum to the same value.Выпуклый четырехугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда его параллелогоамм Вариньона( вершинами которого служат середины сторон) является прямоугольником.
A convex quadrilateral is orthodiagonal if and only if its Varignon parallelogram(whose vertices are the midpoints of its sides) is a rectangle.Обратное утверждение также верно- окружность можно вписать в любой выпуклый четырехугольник, у которого суммы длин противоположных сторон равны.
The converse is also true: a circle can be inscribed into every quadrilateral in which the lengths of opposite sides sum to the same value.В противном случае четыре точки образуют выпуклый четырехугольник, и геометрическим центром служит точка пересечения диагоналей четырехугольника. .
Otherwise, the four points form a convex quadrilateral and the geometric median is the crossing point of the diagonals of the И наоборот, выпуклый четырехугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.
Conversely, a convex quadrilateral in which the four angle bisectors meet at a point must be tangential and the common point is the incenter.В евклидовой геометрии описанный четырехугольник- это выпуклый четырехугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырехугольника.
In Euclidean geometry, Так, выпуклый четырехугольник имеет вписанную или вневписанную окружность около соответствующей вершины( зависит от столбца) тогда и только тогда, когда выполняется любое из пяти условий.
Thus a convex quadrilateral has an incircle or an excircle outside the appropriate vertex(depending on the column) if and only if any one of the five necessary and sufficient conditions below is satisfied.Другое необходимое идостаточное условие- выпуклый четырехугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга.
Another necessary andsufficient condition is that a convex quadrilateral ABCD is tangential if and only if the incircles in the two triangles ABC and ADC are tangent to each other.Если прямоугольники включаются в класс трапеций, то можно определить равнобедренную трапецию как" вписанный четырехугольник с равными диагоналями",как" вписанный четырехугольник с парой параллельных сторон", или как" выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины противоположных сторон.
If rectangles are included in the class of trapezoids then one may concisely define an isosceles trapezoid as"a cyclic Другой критерий для того, чтобы выпуклый четырехугольник A B C D{\ displaystyle\ displaystyle ABCD} был вписанным, требует, чтобы угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Another necessary and sufficient condition for a convex quadrilateral ABCD to be cyclic is that an angle between a side and a diagonal is equal to the angle between the opposite side and the other diagonal.Фактически, обратное также выполняется- если даны две окружности( одна внутри другой) с радиусами R и r и расстояние x между их центрами удовлетворяет условию теоремы Фусса,существует выпуклый четырехугольник, вписанный в одну из окружностей, а другая окружность будет вписана в четырехугольник а тогда по теореме Понселе, существует бесконечно много ткаких четырехугольников. .
In fact the converse also holds: given two circles(one within the other) with radii R and r and distance x between their centers satisfying the condition in Fuss' theorem,there exists a convex quadrilateral inscribed in one of them and tangent to the other and then by Poncelet's closure theorem, there exist infinitely many of them.Свойство утверждает, что если выпуклый четырехугольников разделен на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырехугольник является описанным.
It states that when a convex quadrilateral is divided into four nonoverlapping triangles by its two diagonals, then the incenters of the four triangles are concyclic if and only if the Выпуклый четырехугольник с длинами диагоналей p{\ displaystyle p} и q{\ displaystyle q} и длинами бимедианам m{\ displaystyle m} и n{\ displaystyle n} является равнодиагональным тогда и только тогда, когда p q m 2+ n 2.{\ displaystyle pq= m^{ 2}+ n^{ 2}.} Площадь K равнодиагонального четырехугольника можно легко вычислить, если известны длины бимедиан m и n.
A convex quadrilateral with diagonal lengths p{\displaystyle p} and q{\displaystyle q} and bimedian lengths m{\displaystyle m} and n{\displaystyle n} is equidiagonal if and only if p q m 2+ n 2.{\displaystyle pq= m^{ 2}+ n^{ 2}.} The area K of an equidiagonal Две бимедианы выпуклого четырехугольника- это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.
The two bimedians of a convex quadrilateral are the line segments that connect the midpoints Для непересекающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA,образованных диагоналями выпуклого четырехугольника ABCD, где диагонали пересекаются в точке P, имеются следующие свойства.
In the nonoverlapping triangles APB, BPC, CPD,DPA formed by the diagonals in a convex quadrilateral ABCD, where the diagonals intersect at P, there are the following characterizations of tangential Есть несколько соотношений относительно четырех треугольников, образованных точкой пересечения диагоналей P и вершинами выпуклого четырехугольника ABCD.
There are several metric characterizations regarding the four triangles formed by the diagonal intersection P and the vertices of a convex quadrilateral ABCD.Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, пересекаются в точке, лежащей на прямой Ньютона.
The line segments connecting the midpoints Выпуклые четырехугольники, длины сторон которых образуют арифметическую прогрессию, всегда являются внеописанными, поскольку удовлетворяют условиям, описанным ниже для смежных сторон.
Convex quadrilaterals whose side lengths form an arithmetic progression are always ex-tangential as they satisfy the characterization below for adjacent side lengths.В частности, число прямолинейных пересечений полного графа равно минимальному числу выпуклых четырехугольников, определенных множеством n точек в общем положении, что тесно связано с задачей со счастливым концом.
In particular, the rectilinear crossing number Можно ли нарисовать три трегольника так, чтобы их пересечение иобъединение были выпуклыми четырехугольниками?
Can one draw three triangles so that both their intersection andtheir union are convex quadrilaterals?Прямая Ньютона- линия, соединяющая середины двух диагоналей выпуклого четырехугольника, не являющегося параллелограммом.
The Newton line is the line that connects the midpoints of the two diagonals in a convex quadrilateral that is not Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны также тогда и только тогда, когда∠ P A B+∠ P B A+∠ P C D+∠ P D C π{\ displaystyle\ angle PAB\ angle PBA\ angle PCD\ angle PDC=\ pi}, где P- точка пересечения диагоналей.
The diagonals of a convex quadrilateral ABCD are perpendicular if and only if∠ P A B+∠ P B A+∠ P C D+∠ P D C π{\displaystyle\angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi} where P is the point of intersection of the diagonals.Четырехугольник равнодиагонален тогда и только тогда, когда K m n.{\ displaystyle\ displaystyle K= mn.} Это прямое следствие факта, что площадь выпуклого четырехугольника равна удвоенной площади параллелограмма Вариньона и что диагонали в этом параллелограмме являются бимедианами четырехугольника. .
A quadrilateral is equidiagonal if and only if K m n.{\displaystyle\displaystyle K=mn.} This is Если противоположные стороны выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то A B+ B C A D+ D C⇔ A E+ E C A F+ F C.{\ displaystyle AB+ BC= AD+ DC\ quad\ Leftrightarrow\ quad AE+ EC= AF+ FC.} Вывод слева направо назван именем Л. М. Уркхарта( 1902- 1966), хотя доказан задолго до него Огастесом де Морганом в 1841 году.
If opposite sides in a convex quadrilateral ABCD intersect at E and F, then A B+ B C A D+ D C⇔ A E+ E C A F+ F C.{\displaystyle AB+BC=AD+DC\quad\Leftrightarrow\quad AE+EC=AF+FC.} The implication to the right is named after L. M. Urquhart(1902-1966) although it was proved long before by Augustus De Morgan in 1841.Если нормали к сторонам выпуклого четырехугольника ABCD через пересечение диагоналей пересекают противоположные стороны в точках R, S, T, U, а K, L, M, N- основания нормалей, то четырехугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда восемь точек K, L, M, N, R, S, T и U лежат на одной окружности, второй окружности восьми точек.
If the normals to the sides of a convex quadrilateral ABCD through the diagonal intersection intersect the opposite sides in R, S, T, U, and K, L, M, N are the feet of these normals, then ABCD is orthodiagonal if and only if the eight points K, L, M, N, R, S, T and U are concyclic; the second eight point circle.Если противоположные стороны в выпуклом четырехугольнике ABCD( не являющийся трапецией) пересекаются в точках E и F, то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда B E+ B F D E+ D F{\ displaystyle\ displaystyle BE+ BF= DE+ DF} или A E- E C A F- F C.{\ displaystyle\ displaystyle AE- EC= AF- FC.} Второе равенство почти то же, что и равенство в теореме Уркхарта.
If opposite sides in a convex quadrilateral ABCD(that is not a trapezoid) intersect at E and F, then it is tangential if and only if either of B E+ B F D E+ D F{\displaystyle\displaystyle BE+BF=DE+DF} or A E- E C A F- F C.{\displaystyle\displaystyle AE-EC=AF-FC.} The second of these is almost the same as one of the equalities in Urquhart's theorem.
