中国語 での 同构 の使用例とその 日本語 への翻訳
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SU(n)的中心同构于循环群Zn。
轨道空间R/Z同构于S1。
すなわち、軌道空間R/ZはS1に同相である。其单连通群具有中心R3，外自同构群GL3(R)。
単純連結な群は中心R3と外部自己同型群GL3(R)を持っている。如下所述，（反）同构是特别自然的。
そのような（反）同型性は、以下で述べるように、とりわけ自然なものである。单连通群有中心R，外自同构群为非零实数群。
単連結群は中心Rと非零な実数の群の外部自己同型を持っている。如果在这种情况下我们还有W=V，则T被称为是自同构。
このときW=Vも同様に成り立つなら、Tは自己同型と言われる。这个商群同构于集合{0,1}带有模2加法运算的群；.
この商群は2を法とする加法をもつ集合{0,1}に同型である；。由于ru是一个双射，u是一个内射，故imu同构于C。
Ruは全単射だから、uは単射でありしたがってimuはCと同型である。从而同态r:kert→C的限制是一个同构；且kert同构于C。
したがって射の制限r:kert→Cは同型射でありkertはCに同型である。如果X是一个希尔伯特空间，则商空间X/M同构于M的正交补。
Xがヒルベルト空間ならば商空間X/MはMの直交補空間に同型である。注意：如果C不是小范畴，则C的自同构可能是一个真类而不是集合。
注意：もしCが小圏でなければ、圏Cの自己同値は集合ではなくクラスをなすかもしれない。当维数比较低时，典型李群之间存在同构，称为“巧合同构”。
低次元においては、古典リー群の「偶然的な同型」と呼ばれる同型が存在する。B同构于A与C的直和，q是A的自然内射而r是到C的投影。
BはAとCの直和（英語版）に同型で、qはAの自然な入射に一致し、rはCへの自然な射影に一致する。这类似于凯莱定理说每个有限群同构于某个置换群。
これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理（英語版）と似ている。还有一个逆命题成立:所有代数格同构于某个代数A的Sub(A)。
さらに、ある種の逆も成り立つ：任意の代数束は、ある代数系Aに対するSub(A)と同型である。则某个函数g的等价类由它在0点的值决定，商空间C/M同构于R。
このとき、各函数gの属する同値類は0における値g(0)によって決定され、商空間C/MはRに同型となる。例如，所有R-S双模之范畴是阿贝尔的，标准同构定理对双模也成立。
例えば、すべてのR-S両側加群の圏はアーベル圏であり、標準的な準同型定理は両側加群に対しても成り立つ。则商空间V/U自然同构于W（Halmos1974，Theorem22.1）。
であるならば、商空間V/UはWに自然同型である(Halmos1974,Theorem22.1)。这意味着他们的基本群平凡，且所有同伦群除了第零个同构于Z之外都是平凡的。
従ってさらに、これらの基本群は自明であり、Zと同型な零次を除いて、全てのホモロジー群が自明である。由正合性，imq=kerr，以及q是一个内射，imq同构于A，故A同构于kerr。
完全性からimq=kerrで、qは単射だから、imqはAと同型で、Aはkerrと同型である。这些同构是“自然”的，因为它们定义了两个函子间的一种自然变换：Abop×Abop×Ab→Ab。
このような同型は、それが各辺の定めるAb×Abop× Abop→Abなる二つの函手の間の自然変換を定めるという意味で「自然」である。作为霍奇定理的一个推论，德拉姆上同调自然同构于调和k-形式空间，从而霍奇星号诱导了上同调群之间一个同构.
ホッジ理論の結果として、ド・ラームコホモロジーは自然に調和k-形式の空間と同型となり、ホッジスターはコホモロジー群。正式定义为，给定两个范畴C与D，一个范畴等价包括函子F:C→D，函子G:D→C，以及两个自然同构ε:FG→ID与η:IC→GF。
形式的には、ふたつの圏CとDの圏同値はふたつの関手F:C→D,G:D→Cとふたつの自然同型ε: FG→ID,η:IC→GFから成る。除了Virtex-7HTFPGA以外，3DIC系列中还有另外两款同构（Homogeneous）器件也已在2013年初实现了量产。
Virtex-7HTFPGAに加え、3DICファミリの２つのホモジニアスデバイスも2013年前半に量産が開始されている。还有一个逆命题成立:通过G.Grätzer和E.T.Schmidt的一个定理，所有代数格同构于某个代数A的Con(A)。
ここでもまた逆が成り立つ：G.GrätzerとE.T.Schmidtの定理から、任意の代数束はある代数系Aに対するCon(A)に同型である。更显然有A3同构于循环群Z3，以及A1与A2同构于平凡群（也是SL1(q)=PSL1(q)对任何q）。
もっと明らかなものとしては、A3が巡回群Z/3Zに同型であることやA0,A1,A2が自明群に（これは任意のqに対するSL1(q)=PSL1(q)とも）同型であることなどが挙げられる。相比之下，只有一个对象与一个态射的范畴C{\displaystyleC}与具有两个对象与两个恒同态射从而这两个对象不同构的范畴E{\displaystyleE}不等价。
一方、1つの対象と1つの射を持つ圏Cと2つの対象と2つの恒等射のみを持つ圏EはEの2つの対象が同型ではないので、圏同値ではない。更一般地，如果V写成子空间U与W的一个（内部）直和：V=U⊕W{\displaystyleV=U\oplusW}则商空间V/U自然同构于W（Halmos1974，Theorem22.1）。
もっと一般に、Vが部分空間UとWの（内部）直和V=U⊕W{\displaystyleV=U\oplusW}であるならば、商空間V/UはWに自然同型である(Halmos1974,Theorem22.1)。
