Примеры использования Mathfrak на Английском языке и их переводы на Русский язык
{-}
-
Official
-
Colloquial
Let g{\displaystyle{\mathfrak{g}}} be a Lie algebra over some field.
Пусть g{\ displaystyle{\ mathfrak{ g}}}- произвольная алгебра Ли над полем K{\ displaystyle K.It is a vector space over the residue field k:= R/ m{\displaystyle{\mathfrak{m.
Кокасательное пространство является векторным пространством над полем вычетов k R/ m{\ displaystyle k= R/{\ mathfrak{ m.Morphisms of this category are the g{\displaystyle{\mathfrak{g}}}-homomorphisms of these modules.
Морфизмы этой категории- g{\ displaystyle{\ mathfrak{ g}}}- гомоморфизмы этих модулей.Such representation is sometimes called bosonic representation of g i n{\displaystyle{\mathfrak{gl}}_{n.
Это представление иногда называют бозонным преставлением g l n{\ displaystyle{\ mathfrak{ gl}}_{ n.The proposition that c ℵ 1{\displaystyle{\mathfrak{c}}=\aleph_{1}} is known as the continuum hypothesis.
Предположение о том, что c ℵ 1{\ displaystyle{\ mathfrak{ c}}=\ aleph_{ 1}} называется континуум- гипотезой.The annihilator ann(x)is contained in some maximal ideal m{\displaystyle{\mathfrak{m.
Аnn( x)( элементы, умножение на которые обнуляет x)содержится в некотором максимальном идеале m{\ displaystyle{\ mathfrak{ m.For instance, P{\displaystyle{\mathfrak{P}}} 52 contains 5 verses out of the 40 verses in John chapter 18.
Например, P 52{\ displaystyle{\ mathfrak{ P}}^{ 52}} содержит 8 стихов из 40 восемнадцатой главы Евангелия от Иоанна.These representations for k 1,…, n are fundamental representations of g l n{\displaystyle{\mathfrak{gl}}_{n.
Эти представления при k 1,…, n являются фундаментальными представлениями g l n{\ displaystyle{\ mathfrak{ gl}}_{ n.Let g{\displaystyle{\mathfrak{g}}} be a real semisimple Lie algebra with Cartan involution σ.
Пусть g{\ displaystyle{\ mathfrak{ g}}} является вещественной полупростой алгеброй Ли с инволюцией Картана σ{\ displaystyle\ sigma.The proposition above shows that elements Ckbelong to the center of U( g l n){\displaystyle U{\mathfrak{gl}}_{n.
Утверждение выше показывает, что элементы Ck принадлежат центру U( g l n){\ displaystyle U{\ mathfrak{ gl}}_{ n.A Lie subalgebra of g{\displaystyle{\mathfrak{g}}} containing a Borel subalgebra is called a parabolic Lie algebra.
Подалгебра Ли алгебры g{\ displaystyle{\ mathfrak{ g}}}, содержащая подалгебру Бореля, называется параболической алгеброй Ли.It can be shown that they actually are free generators of the center of U( g l n){\displaystyle U{\mathfrak{gl}}_{n.
Более того можно доказать, что они- свободные генераторы центра U( g l n){\ displaystyle U{\ mathfrak{ gl}}_{ n.The Lie algebra s o( 3){\displaystyle{\mathfrak{so}}(3)} is the Lie algebra of SO(3), the rotation group for three-dimensional Euclidean space.
Алгебра Ли s o( 3){\ displaystyle{\ mathfrak{ so}}( 3)} соответствует SO( 3), группе вращений 3- мерного евклидова пространства.The adjoint representation is the action of G by conjugation on its Lie algebra g{\displaystyle{\mathfrak{g.
Присоединенное представление является действием группы G путем сопряжения на ее алгебре Ли g{\ displaystyle{\ mathfrak{ g.A convenient basis for s o( 3;1){\displaystyle{\mathfrak{so}}(3;1)} is given by the three generators Ji of rotations and the three generators Ki of boosts.
Подходящий базис для s o( 3;1){\ displaystyle{\ mathfrak{ so}}( 3; 1)} задается тремя генераторами Ji вращений и тремя генераторами Ki бусты.A root of G means a nonzero weight that occurs in the action of T⊂ G on g{\displaystyle{\mathfrak{g.
Корень группы G означает ненулевой вес, который появляется в действии тора T⊂ G{\ displaystyle T\ subset G} на g{\ displaystyle{\ mathfrak{ g.Let C{\displaystyle{\mathfrak{C}}} be a category and let H{\displaystyle{\mathcal{H}}} be a class of morphisms of C{\displaystyle{\mathfrak{C.
Пусть C{\ displaystyle{\ mathfrak{ C}}} является категорией H{\ displaystyle{\ mathcal{ H}}}- Класс морфизмов у C{\ displaystyle{\ mathfrak{ C.The Poincaré-Birkhoff-Witt theorem applies to determine the universal enveloping algebra U( h n){\displaystyle U{\mathfrak{h}}_{n.
Let the basis of s l( 2,C){\displaystyle{\mathfrak{sl}}(2,\mathbb{C})} be This choice of basis, and the notation, is standard in the mathematical literature.
Пусть базисом s l( 2,C){\ displaystyle{\ mathfrak{ sl}}( 2,\ mathbb{ C})} будет Выбор базиса и обозначения являются стандартными для математической литературы.According to the final conclusion in strategy, the irreducible complex linear representationof s l( 2, C){\displaystyle{\mathfrak{sl}}(2,\mathbb{C})} is isomorphic to one of the highest weight representations.
Согласно конечному заключению стратегии, неприводимое комплексное линейное представление алгебры s l( 2,C){\ displaystyle{\ mathfrak{ sl}}( 2,\ mathbb{ C})} изоморфно одному из представлений наибольшего веса.Since s o( 3;1){\displaystyle{\mathfrak{so}}(3;1)} is semisimple, all its representations can be built up as direct sums of the irreducible ones.
Поскольку алгебра s o( 3;1){\ displaystyle{\ mathfrak{ so}}( 3; 1)} является полупростой, все ее представления можно построить как прямые суммы неприводимых представлений.The universal enveloping algebra preserves the representation theory:the representations of g{\displaystyle{\mathfrak{g}}} correspond in a one-to-one manner to the modules over U( g){\displaystyle U{\mathfrak{g.
Важное ограничение- сохранение теории представлений:представления g{\ displaystyle{\ mathfrak{ g}}} соотносятся точь-в-точь так же как и модули над U( g){\ displaystyle U{\ The space h{\displaystyle{\mathfrak{h}}} is mapped to Minkowski space M4, via The action of P(A) on h{\displaystyle{\mathfrak{h}}} preserves determinants.
Пространство h{\ displaystyle{\ mathfrak{ h}}} отображается в пространство Минковского M4 посредством Действие P( A) на h{\ displaystyle{\ Such generalizations consist of changing Lie algebra g l n{\displaystyle{\mathfrak{gl}}_{n}} to simple Lie algebras and their super(q), and current versions.
Такие обобщения состоят из замены алгебры Ли g l n{\ displaystyle{\ mathfrak{ gl}}_{ n}} на полупростую группу Ли и их супералгебру квантовую группу, и последующие развитие такого подхода.Assume that g{\displaystyle{\mathfrak{g}}} is a(usually complex) semisimple Lie algebra with a Cartan subalgebra h{\displaystyle{\mathfrak{h}}}, Φ{\displaystyle\Phi} is a root system and Φ+{\displaystyle\Phi^{+}} is a system of positive roots.
Пусть g{\ displaystyle{\ mathfrak{ g}}}-( обычно комплексная) полупростая алгебра Ли с подалгеброй Картанаruen h{\ displaystyle{\ Irreducibility can be proved by analyzing the action of g{\displaystyle{\mathfrak{g}}} on the algebraic sum of these subspaces or directly without using the Lie algebra.
Неприводимость можно доказать путем анализа действия алгебры g{\ displaystyle{\ mathfrak{ g}}} на алгебраическую сумму этих подпространств или непосредственно без использования алгебры Ли.If π: g→ g l( V){\displaystyle\ pi:{\mathfrak{g}}\to{\mathfrak{gl}}(V)} for some vector space V is a representation, a representation Π of the connected component of G is defined by This definition applies whether the resulting representation is projective or not.
Если алгебра π: g→ g l( V){\ displaystyle\ pi:{\ mathfrak{ g}}\ to{\ In more abstract terms,the abelian category of all representations of g{\displaystyle{\mathfrak{g}}} is isomorphic to the abelian category of all left modules over U( g){\displaystyle U{\mathfrak{g.
Сведения о теории представлений, упомянутые ранее, могут быть уточнены следующим образом:абелева категория всех представлений g{\ displaystyle{\ mathfrak{ g}}} изоморфна абелевой категории всех левых модулей U( g){\ displaystyle U{\ In fact this norm is equivalent to the operator norm on the symmetric operators ad X andeach non-zero eigenvalue occurs with its negative, since i ad X is a skew-adjoint operator on the compact real form k⊕ i p{\displaystyle{\mathfrak{k}}\oplus i{\mathfrak{p.
Фактически эта норма эквивалентна оператору нормы на симметричных операторах a d X{\ displaystyle\ mathrm{ ad}~ X} и любое ненулевое собственное значение появляется вместе с отрицательным значением, поскольку i a d X{\ displaystyle i~\ mathrm{ ad}~ X}является кососопряженным оператором на компактной вещественной форме k⊕ i p{\ displaystyle{\ mathfrak{ k}}\ oplus i{\ If S is an additive subgroup of L{\displaystyle{\mathfrak{L}}}, then N L( S){\displaystyle\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)} is the largest Lie subring(or Lie subalgebra, as the case may be) in which S is a Lie ideal.
Если S- аддитивная подгруппа L{\ displaystyle{\ mathfrak{ L}}}, то N L( S){\ displaystyle\ mathrm{ N}_{\ mathfrak{ L}}( S)} является наибольшим подкольцом Ли( или подалгеброй Ли), в которой S является идеалом Ли.
