IS PLANAR IF AND ONLY на Русском - Русский перевод

• планарен тогда и только
• является планарным тогда и только тогда

Примеры использования Is planar if and only на Английском языке и их переводы на Русский язык

The Hasse diagram of a lattice is planar if and only if its order dimension is at most two.
Диаграмма Хассе решетки планарна тогда и только тогда, когда ее порядковая размерность не превосходит двух.

Another result also sometimes known as Wagner's theorem states that a four-connected graph is planar if and only if it has no K5 minor.
Другой результат, который иногда также называют теоремой Вагнера, утверждает, что вершинно 4- связный граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит K5 в качестве минора.

Wagner's theorem states that a graph is planar if and only if it has neither K5 nor K3,3 as a minor.
Теорема Вагнера утверждает, что граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит ни K5, ни K3, 3 в качестве минора.

In graph theory, the crossing number cr(G) of a graph G is the lowest number of edge crossings of a plane drawing of the graph G. For instance, a graph is planar if and only if its crossing number is zero.
В теории графов число пересечений cr( G) графа G- это наименьшее число пересечений ребер плоского рисунка графа G. Например, граф является планарным тогда и только тогда, когда его число пересечений равно нулю.

Schnyder's theorem states that a graph G is planar if and only if the order dimension of P(G) is at most three.
Теорема Шнайдера утверждает, что граф G является планарным тогда и только тогда, когда порядковая размерность P( G){\ displaystyle P( G)} не превосходит трех.

It states that a graph G is planar if and only if its graphic matroid is also cographic that is, it is the dual matroid of another graphic matroid.
Критерий утверждает, что граф G планарен тогда и только тогда, когда его графовый матроид является также кографовым то есть является двойственным матроидом другого графового матроида.

Correspondingly, the Kelmans-Seymour conjecture states that a 5-connected graph is planar if and only if it does not have K5 as a topological minor.
Соответственно, гипотеза Келманса- Сеймура утверждает, что вершинно 5- связный граф планарен тогда и только тогда, когда не содержит K5 в качестве топологического минора.

Wagner's theorem that a graph is planar if and only if it does not contain a minor(subgraph of a contraction) that is isomorphic to K5 or K3,3.
Теорема Вагнера, что граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит минора( подграфа стягиваний), который изоморфен K5 или K3, 3.

Wagner published both theorems in 1937, subsequent to the 1930 publication of Kuratowski's theorem, according to which a graph is planar if and only if it does not contain as a subgraph a subdivision of one of the same two forbidden graphs K5 and K3,3.
Вагнер опубликовал обе теоремы в 1937, после публикации в 1930 теоремы Куратовского, согласно которой граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит в качестве подграфа подразделение одного из тех же самых запрещенных графов K5 и K3, 3.

These include Kuratowski's theorem that a graph is planar if and only if it does not contain a subgraph that is a subdivision of K5(the complete graph on five vertices) or K3,3 the utility graph, a complete bipartite graph on six vertices, three of which connect to each of the other three.
Сюда входят Теорема Понтрягина- Куратовского, что граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфа, который является подразделением K5( полный граф с пятью вершинами) или K3, 3 коммунальный граф, полный двудольный граф с шестью вершинами, три из которых соединены с каждой вершиной из другой тройки.

Mac Lane's planarity criterion uses this idea to characterize the planar graphs in terms of the cycle bases: a finite undirected graph is planar if and only if it has a sparse cycle basis or 2-basis, a basis in which each edge of the graph participates in at most two basis cycles.
Критерий планарности МакЛейна использует эту идею для описания планарных графов в терминах базисов циклов- конечный неориентированный граф является планарным тогда и только тогда, когда он имеет разреженный базис циклов( или 2- базис), базис, в котором каждое ребро графа принадлежит максимум двум циклам базиса.

An equivalent form of Whitney 's criterion is that a graph G is planar if and only if it has a dual graph whose graphic matroid is dual to the graphic matroid of G. A graph whose graphic matroid is dual to the graphic matroid of G is known as an algebraic dual of G. This, Whitney 's planarity criterion can be expressed succinctly as: a graph is planar if and only if it has an algebraic dual.
Эквивалентная форма критерия Уитни гласит, что граф G планарен тогда и только тогда, когда он имеет двойственный граф, графовый матроид которого двойственен графовому матроиду графа G. Граф, графовый матроид которого двойственен графовому матроида графа G, известен как алгебраически двойственный граф для графа G. Тогда критерий планарности Уитни можно перефразировать следующим образом: граф планарен тогда и только тогда, когда у него есть алгебраически двойственный граф.

One of these two families is formed by replacing the nodes of a cycle by fragments A and B, with at least two of the fragments being of type A; a graph of this type is planar if and only if it does not contain any fragments of type B. The other family is formed by replacing the nodes of a path by fragments of type B and C; all such graphs are planar..
Одно из этих двух семейств образовано заменой вершин цикла фрагментами A и B, при этом по меньшей мере два фрагмента должны быть типа A. Граф этого типа планарен тогда и только тогда, когда он не содержит фрагментов типа B. Другое семейство образуется заменой вершин пути фрагментами типа B и C. Все такие графы планарны.

It states that a finite undirected graph is planar if and only if the cycle space of the graph(taken modulo 2) has a cycle basis in which each edge of the graph participates in at most two basis vectors.
Критерий утверждает, что конечный неориентированный граф является планарным тогда и только тогда, когда пространство циклов графа( по модулю 2) имеет базис циклов, в котором каждое ребро графа принадлежит не более чем двум базисным векторам.

As they showed, when the base graph is biconnected, a graph constructed in this way is planar if and only if its base graph is outerplanar and the matching forms a dihedral permutation of its outer cycle.
Как они показали, если базовый граф двусвязен, граф, полученный из него описанным способом, планарен тогда и только тогда, когда базовый граф внешнепланарен и паросочетание образует диэдральные перестановки внешнего цикла.

Kuratowski's theorem states that a finite graph is planar if and only if it contains no subgraph homeomorphic to K5(complete graph on five vertices) or K3,3 complete bipartite graph on two partitions of size three.
Теорема Понтрягина- Куратовского утверждает, что конечный граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфа, гомеоморфного K5( полный граф с пятью вершинами) или K3, 3 полный двудольный граф с двумя долями размера три.

The theory of graph minors began with Wagner's theorem that a graph is planar if and only if its minors include neither the complete graph K5 nor the complete bipartite graph K3,3.
Теория миноров графов началась с теоремы Вагнера, гласящей, что граф планарен в том и только в том случае, когда в его миноры не входят ни в полный граф K5, ни в полный двудольный граф K3, 3.

He uses a slightly different formulation of the planarity criterion, according to which a graph is planar if and only if it has a set of(not necessarily simple) cycles covering every edge exactly twice, such that the only nontrivial relation among these cycles in C(G) is that their sum be zero.
Он использовал слегка отличную формулировку критерия планарности, согласно которой граф планарен тогда и только тогда, когда он имеет набор( не обязательно простых) циклов, покрывающих каждое ребро в точности дважды, так что единственная нетривиальная связь этих циклов в C( G)- их сумма равна нулю.

Other planarity criteria, that characterize planar graphs mathematically but are less central to planarity testing algorithms, include Whitney 's planarity criterion that a graph is planar if and only if its graphic matroid is also cographic, Mac Lane 's planarity criterion characterizing planar graphs by the bases of their cycle spaces, Schnyder 's theorem characterizing planar graphs by the order dimension of an associated partial order, and Colin de Verdière 's planarity criterion using spectral graph theory.
Другие критерии планарности, которые описывают планарные графы математически, но которые меньше пригодны для алгоритмов проверки планарности, включают критерий планарности Уитни, что граф планарен тогда и только тогда, когда его графовый матроид является также кографовым, критерий планарности Маклейна, описывающий планарные графы базисами их циклических пространств, Теорема Шнайдера, описывающая планарные графы порядковой размерностью ассоциированных частично упорядоченных множеств, и критерий планарности Колен де Вердьера, использующий спектральную теорию графов.

A planar graph is outerplanar if and only if each of its biconnected components is outerplanar.
Планарный граф является внешнепланарным тогда и только тогда, когда все его двусвязные компоненты внешнепланарны.

And, a planar graph is bipartite if and only if, in a planar embedding of the graph, all face cycles have even length.
Планарный граф является двудольным тогда и только тогда, когда в его планарном вложении все циклы граней( границы) имеют четную длину.

More precisely, the book thickness of a graph G is at most two if and only if G is a subgraph of a planar graph that has a Hamiltonian cycle.
Точнее, книжная толщина графа G не больше двух тогда и только тогда, когда G является подграфом планарного графа, который имеет гамильтонов цикл.

In a maximal planar graph, the book thickness is two if and only if a Hamiltonian cycle exists.
Толщина книжного вложения максимального планарного графа равна двум тогда и только тогда, когда гамильтонов путь существует.

A planar graph is outerplanar if and only if its weak dual is a forest, and it is Halin if and only if its weak dual is biconnected and outerplanar.
Планарный граф является внешнепланарным тогда и только тогда, когда его слабо двойственный является лесом, и граф является графом Халина тогда и только тогда, когда его слабо двойственный является двусвязным и внешнепланарным.

A maximal planar graph is node-pancyclic if and only if it has a Hamiltonian cycle: if it is not Hamiltonian, it is certainly not pancyclic, and if it is Hamiltonian, then the interior of the Hamiltonian cycle forms a maximal outerplanar graph on the same nodes, to which the previous argument for maximal outerplanar graphs can be applied.
Максимальный планарный граф является вершинно- панциклическим тогда и только тогда, когда он содержит гамильтонов цикл- если он не гамильтонов, он определенно не панцикличен, а если он гамильтонов, то внутренность гамильтонова цикла образует максимальный внешнепланарный граф на тех же вершинах, к которой можно применить предыдущие аргумены для внешнепланарных графов.

In the case of three-dimensional polyhedra, this property and planarity may be used to exactly characterize the graphs of polyhedra: Steinitz's theorem states that G is the skeleton of a three-dimensional polyhedron if and only if G is a 3-vertex-connected planar graph.
В случае трехмерных многогранников это свойство и планарность может быть использовано для точного описания графов многогранников- теорема Штайница утверждает, что G является скелетом трехмерного многогранника тогда и только тогда, когда G является вершинно 3- связным планарным графом.

A prototypical example of this phenomenon is Kuratowski's theorem, which states that a graph is planar(can be drawn without crossings in the plane) if and only if it does not contain either of two forbidden graphs, the complete graph K5 and the complete bipartite graph K3,3.
В качестве прототипа явления служит теорема Понтрягина- Куратовского, которая утверждает, что граф планарен( граф, который можно нарисовать на плоскости без пересечений) тогда и только тогда, когда граф не содержит любой из двух запрещенных подграфов, полный граф K5 и полный двудольный граф K3, 3.

In a maximal planar graph, or more generally in every polyhedral graph, the peripheral cycles are exactly the faces of a planar embedding of the graph, so a polyhedral graph is strangulated if and only if all the faces are triangles, or equivalently it is maximal planar..
В максимальном планарном графе, или более обще, в любом полиэдральном графе, периферийные циклы в точности грани планарного вложения графа, так что полиэдральный граф сжат тогда и только тогда, когда все грани являются треугольниками, или, эквивалентно, он является максимально планарным..

A graph is k-vertex-connected, but not necessarily planar, if and only if it has an embedding into(k -1)-dimensional space in which an arbitrary k-tuple of vertices are placed at the vertices of a simplex and, for each remaining vertex v, the convex hull of the neighbors of v is full-dimensional with v in its interior.
Граф вершинно k- связен( но не обязательно планарен) тогда и только тогда, когда он имеет вложение в( k- 1)- мерное пространство, в котором любой набор из k вершин располагается в вершинах симплекса, а для любой оставшейся вершины v выпуклая оболочка соседей вершины v имеет полную размерность и v располагается внутри этой оболочки.

A directed acyclic graph G has an upward planar drawing if and only if G is a subgraph of an st-planar graph.
Ориентированный ациклический граф G имеет восходящее планарное представление тогда и только тогда, когда G является подграфом st- планарного графа.