КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА на Английском - Английский перевод

• quadratic form

Примеры использования Квадратичная форма на Русском языке и их переводы на Английский язык

Квадратичная форма.
Quadratische Formen.

Для каждого набора инвариантов, удовлетворяющих этим отношениям, есть квадратичная форма.
For every set of invariants satisfying these relations, there is a quadratic form over K with these invariants.

Так как квадратичная форма является скаляром, то это и ее математическое ожидание.
Since the quadratic form is a scalar, so is its expectation.

Клейн и Нагата показали, что R/ Q факториально, если Q- невырожденная квадратичная форма и n не меньше пяти.
Klein and Nagata showed that the ring R/Q is a UFD whenever Q is a nonsingular quadratic form in the X's and n is at least 5.

Ассоциированная квадратичная форма или многообразие- например, E8 имеет форму пересечений, задаваемую решеткой E8.
An associated quadratic form or manifold- for example, the E8 manifold has intersection form given by the E8 lattice.

Некоторые примеры среди классических групп Любая невырожденная квадратичная форма q над полем k определяет редуктивную группу G SOq.
Some examples among the classical groups are: Every nondegenerate quadratic form q over a field k determines a reductive group G SOq.

Что данная квадратичная форма представляет собой натуральное число, если вместо переменных, подставляющих конкретные числа, дается это число.
A given quadratic form is said to represent a natural number if substituting specific numbers for the variables gives the number.

Например, теорема разложения Витта утверждает, что невырожденная квадратичная форма над полем определена с точностью до изоморфизма ее индексом Витта вместе с анизотропным ядром.
For example, Witt's decomposition theorem says that a nondegenerate quadratic form over a field is determined up to isomorphism by its Witt index together with its anisotropic kernel.

Пример: Пусть q- невырожденная квадратичная форма четной размерности 2n над полем k с характеристикой, не равной 2, где n⩾ 5{\ displaystyle n\ geqslant 5} эти ограничения можно опустить.
Example: Let q be a nondegenerate quadratic form of even dimension 2n over a field k of characteristic not 2, with n≥ 5.

Примером овоида служит эллиптитическая квадрика, множество нулей квадратичной формы x1x2+ f( x3, x4), где f- неприводимая квадратичная форма от двух переменных над GFq.
An example of an ovoid is the elliptic quadric, the set of zeros of the quadratic form x1x2+ f(x3, x4), where f is an irreducible quadratic form in two variables over GFq.

Немецкий математик и физик Карл Гаусс и его последователи обнаружили, что если изменить переменные определенным образом, то новая квадратичная форма будет представлять собой те же натуральные числа, что и прежние, но в другой, более понятной для понимания форме..
Gauss and those who followed found that if we change variables in certain ways, the new quadratic form represented the same natural numbers as the old, but in a different, more easily interpreted form..

Если квадратичная форма принимает только неотрицательные( соответственно, только неположительные) значения, симметричная матрица называется положительно полуопределенной соответственно, отрицательно полуопределенной.
If the quadratic form takes only non-negative(respectively only non-positive) values, the symmetric matrix is called positive-semidefinite(respectively negative-semidefinite); hence the matrix is indefinite precisely when it is neither positive-semidefinite nor negative-semidefinite.

Симметричная n× n матрица называется положительно определенной( соответственно, отрицательно определенной или неопределенной), если для всех ненулевых векторов x∈ Rn соответствующая квадратичная форма Q( x) xTAx принимает только положительные значения соответственно, отрицательные значения или и те, и другие.
A symmetric n×n-matrix is called positive-definite(respectively negative-definite; indefinite), if for all nonzero vectors x∈ R n{\displaystyle x\in\mathbb{R}^{n}} the associated quadratic form given by Q(x) xTAx takes only positive values respectively only negative values; both some negative and some positive values.

Например, арифметическая решетка, ассоциированная с квадратичной формой от n{\ displaystyle n} переменных над Q{\ displaystyle\ mathbb{ Q}}, будет кокомпактной в ассоциированной ортогональной группе тогда и только тогда, когда квадратичная форма не обращается в нуль в любой точке на Q n∖{}{\ displaystyle\ mathbb{ Q}^{ n}\ setminus\{\.
For example, the arithmetic lattice associated to a quadratic form in n{\displaystyle n} variables over Q{\displaystyle\mathbb{Q}} will be co-compact in the associated orthogonal group if and only if the quadratic form does not vanish at any point in Q n∖{ 0}{\displaystyle\mathbb{Q}^{n}\setminus\{0\.

Именно это немецкий математик Герман Минковский и сделал для квадратичной формы с дробными коэффициентами.
This is exactly what Minkowski did for quadratic form with fractional coefficients.

Невырожденное конической сечение в двойственной проективной плоскости также определяется квадратичной формой.
A nondegenerate dual conic section is analogously defined by a quadratic form.

Рациональные квадратичные формы.
Rational Quadratic Forms.

Эта модель имеет отрицательно наклонную квадратичную форму, которая означает, что улучшения показателя интенсивности выбросов на единицу ВВП снижаются.
The model has a negatively sloping quadratic form which means that the improvements in GDP emission intensity are decreasing.

Линейная алгебра: векторные пространства и линейные отображения, базисы, размерность, системы линейных уравнений, жорданова нормальная форма, характеристический и минимальный многочлены, квадратичные формы, положительная определенность.
Linear algebra: vector spaces and linear maps, basis, dimension, systems of linear equations, Jordan normal form, characteristic and minimal polynomials, quadratic form, positivity.

Также ортогональная группа O( q) является подгруппой полной линейной группы, сохраняющей невырожденную квадратичную форму q на векторном пространстве над полем k.
Likewise, the orthogonal group O(q) is the subgroup of the general linear group that preserves a nondegenerate quadratic form q on a vector space over a field k.

Уилсон дал упрощенное построение групп Ри как симметрии 26- мерного пространства над полем порядка 22n+ 1, сохраняющего квадратичную форму, кубическую форму и частичное умножение.
Wilson(2010b) gave a simplified construction of the Ree groups as the symmetries of a 26-dimensional space over the field of order 22n+1 preserving a quadratic form, a cubic form, and a partial multiplication.

Например,( невырожденные) квадратичные формы размерности n над k классифицируются посредством H1( k, O( n)), и центральные простые алгебры степени n над k классифицируются посредством H1k, PGLn.
For example,(nondegenerate) quadratic forms of dimension n over k are classified by H1(k, O(n)), and central simple algebras of degree n over k are classified by H1k, PGLn.

Если поле k алгебраически замкнуто, любые две( невырожденные) квадратичные формы одной и той же размерности изоморфны, а потому целесообразно называть эту группу SOn.
When k is algebraically closed, any two(nondegenerate) quadratic forms of the same dimension are isomorphic, and so it is reasonable to call this group SOn.

Есть связь теории целочисленных бинарных квадратичных форм и арифметикой квадратичных числовых полей.
There is a connection between the theory of integral binary quadratic forms and the arithmetic of quadratic number fields.

Александр Меркурьев известен своими работами в алгебраической группе, квадратичной формы, когомологии Галуа, алгебраической К- теории и простой центральной алгебре ASC.
Merkurjev's work focuses on algebraic groups, quadratic forms, Galois cohomology, algebraic K-theory and central simple algebras.

В результате задача классификации редуктивных групп над полем k включает задачи классификации всех квадратичных форм над k или всех центральных простых алгебр над k.
As a result, the problem of classifying reductive groups over k essentially includes the problem of classifying all quadratic forms over k or all central simple algebras over k.

Как упоминалось ранее, Минковский создал и доказал аналогичную теорию для квадратичных форм, в которых в качестве коэффициентов использовались дроби.
As mentioned earlier, Minkowski created and proved a similar theory for quadratic forms that had fractions as coefficients.

Сам термин« спектральная теория» был введен Давидом Гильбертом в первоначальной формулировке теории гильбертовых пространств, которая была сформулирована с использованием квадратичной формы бесконечного числа переменных.
The name spectral theory was introduced by David Hilbert in his original formulation of Hilbert space theory, which was cast in terms of quadratic forms in infinitely many variables.

Как заявил американский и канадский математик Ирвинг Капланский,« 11- я задача заключается просто в следующем: классифицировать квадратичные формы по алгебраическим числовым полям».
As stated by Kaplansky,"The 11th Problem is simply this: classify quadratic forms over algebraic number fields.

Дирихле использовал двумерные и трехмерные диаграммы Вороного в своем труде о квадратичных формах в 1850.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet used 2-dimensional and 3-dimensional Voronoi diagrams in his study of quadratic forms in 1850.